У вас нет загранпаспорта? Или вы имели в виду визу? Как вы хотите что бы писалось ваше имя? Скорей всего визу (и гринкарту) выдадут на имя Alexey, как вы указали в анкете. Но вы можете повоевать, попробовать SSN получить на Alex, потом карточки, и писать везде свое имя как Alex. У меня такая ситуация была с фамилией. Небольшое разночтение в различных документах не критично. А потом при получении гражданства вы окончательно оставите как вы хотите. Или даже принять совсем иное имя и фамилию.